Prepara le polpettine mettendo la carne in una terrina, insaporendo con sale, pepe e con grana, pangrattato e l'uovo. Amalgama bene e forma con il composto ottenuto tante polpettine delle dimensioni di una noce. Passale nella farina e rosolale per 10 minuti in 4 cucchiai di olio caldo. Sgocciolale con l'apposita paletta e passale sopra un foglio di carta assorbente da cucina. Priva i carciofi delle foglie esterne più dure, dei gambi e della barba interna. Elimina le punte e tagliali a quarti. Sbuccia l'aglio e la cipolla, schiaccia il primo e affetta la seconda. Riunisci le verdure e i legumi in una casseruola con 2 cucchiai di olio e coprili con acqua. Aggiungi anche i carciofi con gambino alla romana tagliati sottili, aggiusta di sale e di pepe e cuoci per circa 10 minuti a fuoco basso e a recipiente coperto. Unisci le polpette, mescola con delicatezza, regola di sale e prosegui la cottura ancora per 10 minuti, aggiungendo poca acqua calda se necessario.